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理系学生日記

おまえはいつまで学生気分なのか

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準同型定理

準同型写像

2 つの群  G, G' があり、GからG'の中への写像\phiが次の条件を満たすとき、\phiGからG'への準同型写像という。つまり、 \forall g_1, g_2\in G \Rightarrow \phi(g_1g_2)=\phi(g_1)\phi(g_2)
特に \phi が 1 対 1 写像のとき、同型写像と言う。

定理
  1. \phi(e)=e'
  2. \phi(g^{-1})=\{\phi(g)\}^{-1}
証明
  1. \phi(eg_2)=\phi(g_2)=\phi(e)\phi(g_2) G'は群であるから、\phi(g_2)には逆元が存在する。これを両辺にかけると \phi(g_2)\{\phi(g_2)\}^{-1}=e'=\phi(e)
  2. \phi(gg^{-1})=\phi(e)=e'=\phi(g)\phi(g^{-1})。ここで両辺に\phi(g)の逆元をかけると、\{\phi(g)\}^{-1}=\phi(g^{-1})
定理

\phi が群 G から群 G' の中への準同型写像とするとき、N=\{n\in G; \phi(n)=e'\}G正規部分群である。
N\mathrm{Ker}\phiと表し、\phi の核と言う。

証明

部分群であること)
\forall n_1,n_2\in N について、\phi(n_1)=\phi(n_2)=e'。よって、\phi(n_1n_2^{-1})=\phi(n_1)\phi(n_2^{-1})=e'\{\phi(n_2)\}^{-1}=e'e'=e'
したがって、n_1n_2^{-1}\in N であるから、NG の部分群である。

正規性)
\forall n\in N, \forall g\in G について、\phi(g^{-1}ng)=\phi(g^{-1})\phi(n)\phi(g)=\{\phi(g)\}^{-1}e'\phi(g)=e' より g^{-1}ng\in G。よって、N は正規である。

定理

\phi を群 GからG'の中への準同型写像とするとき、

  1. H'G'の部分群のとき、H'の完全逆像\phi^{-1}(H')Gの部分群。
  2. N'G'正規部分群のとき、\phi^{-1}(N')G正規部分群である。
証明
  1. \forall h_1,h_2\in \phi^{-1}(H')のとき、\phi(h_1)\,\phi(h_2) \in H'H'は群であり、乗算について閉じているから、\phi(h_1h_2)=\phi(h_1)\phi(h_2)\in H'。よってh_1h_2\in\phi^{-1}(H')。また、\phi(h_1) \in H' であり、H'は群であるから、{\phi(h_1)}^{-1}=\phi(h_1^{-1})\in H'。よって、h_1^{-1}\in \phi^{-1}(H')
  2. \forall g\in G, \forall n\in \phi^{-1}(N')とする。ここで\phi^{-1}(N')の定義より、\phi(n)\in N'。また、\phi(g)\in G'であり、\phi(g^{-1})=\{\phi(g)\}^{-1}\in G'であることを踏まえると、\phi(g^{-1}ng)=\phi(g^{-1})\phi(n)\phi(g)\in G'。故にg^{-1}ng \in \phi^{-1}(N')