理系学生日記

おまえはいつまで学生気分なのか

忍者TOOLS

随伴作用素

いま、\mathbf{V}から\mathbf{V}への線形作用素Tを考えましょう。
なお、ここでは便宜上、\mathbf{x}\in \mathbf{V}に対してT(\mathbf{x})のことをT\mathbf{x}と書くことにします。

このとき、\mathbf{y}\in\mathbf{V}について、\varphi_y(\mathbf{x})=(T\mathbf{x},\mathbf{y})とおくと、\varphi_y(\mathbf{x})\in \mathbf{C}で、\varphi_y(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}')=(T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}'),\mathbf{y})=(\alpha T\mathbf{x}+\beta T\mathbf{x}',\mathbf{y})
=\alpha (T\mathbf{x},\mathbf{y})+\beta (T\mathbf{x}',\mathbf{y})=\alpha\varphi_y(\mathbf{x})+\beta\varphi_y (\mathbf{x}')となるので、\varphi_y\mathbf{V}から\mathbf{C}への線型写像である。
したがって、前回の話から、\varphi_y\exists \tilde{\mathbf{y}}\in Vについて、\varphi_y(\mathbf{x})=(T\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},\tilde{\mathbf{y}})と表される。

そこで、\tilde{\mathbf{y}}=T^*\mathbf{y}とおくと、(T\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},T^*\mathbf{y})
さらに、(\mathbf{x},T^*(\alpha\mathbf{y}+\beta\mathbf{y}'))=(T\mathbf{x},\alpha\mathbf{y}+\beta\mathbf{y}')
=\bar{\alpha}(T\mathbf{x},\mathbf{y})+\bar{\beta}(T\mathbf{x},\mathbf{y}')=(\mathbf{x},\alpha T^*\mathbf{x})+(\mathbf{x},\beta T^*\mathbf{y}')=\alpha T^*(\mathbf{x},\mathbf{y})+\beta T^*(\mathbf{x},\mathbf{y}')となるから、このT^*も線形作用素である。

T^*を、Tの随伴作用素という。