ストークスの定理を理解しましょう

ガウスの定理のつぎは当然ストークスの定理です。

循環

$C$ を任意のベクトル場とするとき、ある閉曲線を考えます。この閉曲線に沿う $C$ の成分を、曲線を巡って積分するとき、この積分をベクトル場の循環といいます。

小正方形の $C$ の循環

ある正方形の循環を求めます。この正方形の頂点座標は、それぞれ $A(x,y),B(x+\Delta x,y),C(x+\Delta x,y + \Delta y),D(x,y+\Delta y)$ とします。
最初の辺 AB の $C$ の循環は単純で、 $C_x(A)\Delta x$ ですね。同様に、辺 BC については $C_y(B)\Delta y$ 、辺 CD は $C_x(C)\Delta x$ 、辺 DA は $C_y(D)\Delta y$ です。
したがって、この循環は $\oint \mathbf{C}\cdot d\mathbf{s}=\left(C_x(A)-C_x(C)\right)\Delta x+\left(C_y(B)-C_y(D)\right)\Delta y$ とあらわせます。

ここで、 $C_x(C)=C_x(A)+\frac{\partial C_x}{\partial y}\Delta y$ 、 $C_y(D)=C_y(B)-\frac{\partial C_y}{\partial x}\Delta x$ となるから、結果として、
$\oint \mathbf{C}\cdot d\mathbf{s}=\left(\frac{\partial C_y}{\partial x}-\frac{\partial C_x}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y$ となる。この括弧内の値は $\Delta \times \mathbf{C}$ の $z$ 成分、つまりは正方形の法線成分であるから、この式は $\oint \mathbf{C}\cdot d\mathbf{s}=\left(\nabla \times \mathbf{C}\right)\cdot \mathbf{n}\Delta a$ とあらわせます。

1 つのループの循環は、その部分ループの循環を足し合わせたものに等しいです。
このため、任意のループ $\Gamma$ のまわりの循環は、上で考えた無限小の正方形の循環を $\Gamma$ 内の分だけ足し合わせれば良いので、 $S$ を $\Gamma$ を縁とする面とすれば、 $\oint_{\Gamma}\mathbf{C}\cdot\mathbf{n}\;d\mathbf{s}=\int_S(\Delta \times \mathbf{C})\cdot\mathbf{n}\;da$ となり、ストークスの定理が導かれます。