$Z \sim \chi ^2 (n)$を証明するために
統計学では$\chi ^2$分布という確率分布を学びます。この分布は、次のような文脈であらわれます。
確率変数$Z _{1}, Z _{2}, \cdots, Z _{n}$が互いに独立に標準正規分布$N(0,1)$にしたがうとき、$W=\sum _{i=1} ^{n} Z _{i} ^{2}$の従う分布を自由度$n$の$\chi ^{2}$分布と呼び、$\chi ^{2} (n)$と表す。
ここで、$\chi ^{2} (n)$の確率密度関数は次のような式になります。
$$ f _{n}(x) = \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}} \Gamma (\frac{n}{2})}x ^{\frac{n}{2}-1} e ^{-\frac{x}{2}} $$
大体の統計学の教科書には、なぜ$W$が$\chi ^{2} (n)$に従うのかが記載されていません。この証明について今日は勉強していたのですが、照明のためにはガンマ関数、ベータ関数あたりの知識が必要ということを学びました。
今日はガンマ関数についてです。
ガンマ関数
ガンマ関数は階乗の概念を一般化した数式とも呼ばれます。まずその定義は次の式になります。
$$ \Gamma(x) \equiv \int _{0} ^{\infty} t ^{x-1} e ^{-t} dt $$
本来のガンマ関数は複素数に対して定義されてるのですが、ここでは実数のみを考えることとします。
$s > 1$のとき、$\Gamma(s) = (s-1)\Gamma (s-1)$
この証明は簡単で、単に部分積分すれば良いですね。次のようになります。
$$ \begin{align} \Gamma(s) &= \int _{0} ^{\infty} t ^{s-1} e ^{-t} dt \newline &= \left[ t ^{s-1} (-e ^{-t} )\right] _{0} ^{\infty} + (s-1)\int _{0} ^{\infty} t ^{s-2} e ^{-t} dt \newline &= 0 + (s-1)\int _{0} ^{\infty} t ^{(s-1)-1} e ^{-t} dt \newline &= (s-1)\Gamma (s-1) \end{align} $$
$n$が正の整数であるとき、$\Gamma(n) = (n-1)!$
この性質が、ガンマ関数が階乗の一般化と言われる所以でもあります。
まず、$\Gamma(1)$は$1$になることを示します。
$$ \begin{align} \Gamma(1) &= \int _{0} ^{\infty} t ^{0} e ^{-t} dt \newline &= \int _{0} ^{\infty} e ^{-t} dt \newline &= \left[-e ^{-t} \right] _{0} ^{\infty} \newline &= 1 \end{align} $$
この結果と、先に述べた性質$\Gamma (s) = (s-1)\Gamma (s-1)$を利用して正の整数$n$に対する$\Gamma(n)$の値を求めます。
$$ \begin{align} \Gamma(n) &= (n-1)\Gamma(n-1) \newline &= (n-1)(n-2)\Gamma (n-2) \newline &= \cdots \newline &= (n-1)(n-2)\cdots 1 \Gamma (1) \newline &= (n-1)! \end{align} $$
$\Gamma\left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}$
階乗は整数に対して定義されますが、その一般化であるガンマ関数の面白いところは$\frac{1}{2}$に対する値が綺麗に表現されることでしょう。
$$ \begin{align} \Gamma \left(\frac{1}{2}\right) &= \int _{0} ^{\infty} t ^{\frac{1}{2} - 1} e ^{-t} dt \newline &= \int _{0} ^{\infty} t ^{-\frac{1}{2}} e ^{-t} dt \end{align} $$
ここで、$t=y ^2$とおきます。すると、$dt = 2y dy$。また、$t$が$0 \rightarrow \infty$となる時に、$y$も$0 \rightarrow \infty$へ動きます。これを用いて上式を置換します。
$$ \begin{align} \Gamma \left(\frac{1}{2}\right) &= \int _{0} ^{\infty} t ^{-\frac{1}{2}} e ^{-t} dt \newline &= \int _{0} ^{\infty} y ^{-1} e ^{- y ^{2}} 2y dy \newline &= 2 \int _{0} ^{\infty} e ^{- y ^{2}} dy \end{align} $$
ここで、積分の箇所はwikipedia:ガウス積分であり、$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$になります。この結果を代入すれば、求めるべき値は次の式となります。
$$ \begin{align} \Gamma \left(\frac{1}{2}\right) &= \sqrt{\pi} \end{align} $$
次は
次に証明しておかなければならないのは、ガンマ関数とベータ関数の関係式です。これはまた以後のエントリで。
