$X \sim N(\mu_1, \sigma_1 ^2)$、$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2 ^2)$なる、互いに独立な2つの確率変数$X,Y$があったときを考えます。その和$X+Y$はどのような確率分布に従うでしょうか。 結論としては$X+Y \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1 ^2 + \sigma_2 ^2)$と…
確率変数$X$が正規分布$N(\mu,\sigma ^2)$に従うとき、$X$の一次関数$aX+b$は正規分布$N(a\mu + b, a ^2 \sigma ^2)$に従うと言う性質があります。 今日はまずこれを証明し、その上で$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$と言う変換が$N(0,1)$の標準正規分布に従うとい…
よく知られているように、期待値$\mu$、分散$\sigma ^2$である正規分布$N(\mu,\sigma ^2)$に従う確率密度関数は以下の式で表現されます。 $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma ^2} } e ^{ - \frac{(x - \mu) ^2}{2\sigma ^2}} $$ これまでずっと、この式を…
今日は幾何分布です。 幾何分布 成功の確率が$p$であるベルヌーイ試行を繰り返したとき、初めて成功するまでの試行回数$X$が従う確率分布を幾何分布と言います。 ベルヌーイ試行については二項分布の期待値と分散 - 理系学生日記の通り、以下のような試行の…
ポアソン分布は、単位時間あたり平均$\lambda$回発生する事象のある時間中に発生する回数$X$が従う確率分布になります。 身近な例としては以下のようなものがあるでしょうか。 1ページあたり平均2個のタイプミスがある本で、ある1ページに何個のタイプミスが…
今日は懐かしの二項分布です。 ベルヌーイ分布 ベルヌーイ試行 ベルヌーイ分布 ベルヌーイ分布の期待値、分散 二項分布 二項分布の期待値・分散 二項分布を学ぶ上では、まずベルヌーイ分布を押さえておかなければなりません。 ベルヌーイ分布 ベルヌーイ試行…
確率の公理 確率論にはwikipedia:確率の公理と呼ばれる公理があります。簡単に言えば以下を成立させる$P(\cdot)$を確率として定義すると言うものです。 任意の事象$A$に関して、$0\leq P(A) \leq 1$ 全事象$\Omega$に対して$P(\Omega)=1$ 違いに排反な事象$A…
指数とは何か 時系列データの解析において、ある時点を基準として時系列間の値の大きさを揃えることを指数化と呼びます。 前年比や前月比のように観察する時点とその直前の時点の値の比率をとったものが「連環指数」です。一方で、観察しようとするすべての…
往々にして、時系列データには周期性があります。例えばスーパーの売り上げの周期は年になることが想定されるし、野球の月別観客動員数も同様でしょう。 ではこの周期が必ずしも自明でないときに、どのようにしてその周期を求めれば良いのでしょうか。 自己…
横軸が時間となるような時系列データは、以下の3つに分解できるという考え方があります。 種類 略 意味 傾向変動 (循環変動を含む) TC (Trend-cycle variation) 基本的な長期にわたる動きを表す変動 季節変動 S (Seasonal variation) 一年を周期として循環を…
