統計学では、$t$分布と呼ばれる分布もよく現れます。 この$t$分布は、独立な2つの確率変数$Z \sim N(0,1)$、$W \sim \chi ^{2} (m)$の従うときに、次の$t$が従う分布とされます。 $$ t = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{m}}} $$ この$t$分布の確率密度関数は次のよ…

WSL2が使えない Windows PCでは諸事情でVPNを張っているんですが、これまた諸事情でVPNを張るとWindows上で動くVMからインターネットに出ることができません。 これで課題になるのがWSL2の利用です。WSL2ではVMの中でLinuxカーネルを動かす形態を取るので、…

自由度$n$のカイ二乗分布の期待値と分散を求めてみましょう。 前提として、自由度$n$のカイ二乗分布の確率密度関数は次の式で表せました。 $$ f _{n}(x) = \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} x ^{\frac{n}{2}-1} e ^{-\frac{x}{2}}…

今日はいよいよ、以下の命題の証明です。 なぜ標準正規分布に従う確率変数の二乗和が$\chi ^{2}$分布に従うのか。学生時代からモヤモヤしていた事柄が、長い年月を経てようやくわかります。 確率変数$Z _{1}, Z _{2}, \cdots, Z _{N}$が互いに独立に標準正規…

統計学では$\chi ^2$分布に関して次のことが言えるとされています。 確率変数$Z _{1}, Z _{2}, \cdots, Z _{n}$が互いに独立に標準正規分布$N(0,1)$にしたがうとき、$W=\sum _{i=1} ^{n} Z _{i} ^{2}$の従う分布を自由度$n$の$\chi ^{2}$分布と呼び、$\chi ^…

$Z \sim \chi ^2 (n)$を証明するために 統計学では$\chi ^2$分布という確率分布を学びます。この分布は、次のような文脈であらわれます。 確率変数$Z _{1}, Z _{2}, \cdots, Z _{n}$が互いに独立に標準正規分布$N(0,1)$にしたがうとき、$W=\sum _{i=1} ^{n} …

Cookieによる情報取得に関して同意を求めるポップアップが、多くのページで実装されるようになりました。 （GDPRではなく）改正個人情報保護法の観点で、Cookieの扱いに関して調べたことをまとめます。正しいのかは確信がないけれど。 私の中の結論としては…

前回のエントリで導出した2変量正規分布に関する確率密度関数は次の式でした。 $$ f(X) = \frac{1}{2\pi \sqrt{\sigma _{x} ^{2} \sigma _{y} ^{2} (1 - \rho ^{2})}} \exp{\left( -\frac{1}{2(1 - \rho ^{2})} \left( \left( \frac{x - \mu _{x}}{\sigma _{…

昨日のエントリにて、多変量の場合の確率密度関数の形を求めました。 $$ f(X) = \frac{1}{(2 \pi) ^{ \frac{n}{2}}\sqrt{|\Sigma|}} \exp{ \left( -\frac{ (X - \mathbf{\mu} ) ^T \Sigma ^{-1} (X - \mu)}{2} \right) } $$ ここで$X$は多変量であるような確…