自由度$n$のカイ二乗分布の期待値と分散を求めてみましょう。
前提として、自由度$n$のカイ二乗分布の確率密度関数は次の式で表せました。
$$ f _{n}(x) = \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} x ^{\frac{n}{2}-1} e ^{-\frac{x}{2}} $$
期待値
期待値の定義に基づいて計算します。
$$ \begin{align} E(X) &= \int _{0} ^{\infty} x \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} x ^{\frac{n}{2}-1} e ^{-\frac{x}{2}} dx \newline &= \int _{0} ^{\infty} \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} x ^{\left(\frac{n}{2} + 1 \right)-1} e ^{-\frac{x}{2}} dx \end{align} $$
ここで、ガンマ関数の性質から$\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)$は次のように変形できます。
$$ \Gamma \left(\frac{n}{2}\right) = \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2} +1 \right)}{\frac{n}{2}} = \frac{2\Gamma \left(\frac{n}{2} +1 \right)}{n} $$
これを$E(X)$の式に代入します。
$$ \begin{align} E(X) &= \int _{0} ^{\infty} \frac{n}{2 ^{\frac{n}{2}} \cdot 2\Gamma \left(\frac{n}{2} +1 \right)} x ^{\left(\frac{n}{2} + 1 \right)-1} e ^{-\frac{x}{2}} dx \newline &= n \int _{0} ^{\infty} \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2} + 1}\Gamma \left(\frac{n}{2} +1 \right)} x ^{\left(\frac{n}{2} + 1 \right)-1} e ^{-\frac{x}{2}} dx \end{align} $$
上式の被積分関数はパラメータ$\frac{n}{2}+1$のカイ二乗分布に関する確率密度関数です。それを定義域である$0$から$\infty$まで積分した値は、wikipedia:確率の公理から全事象の確率に関する和として$1$となります。
従って、期待値$E(X)=n$が導けました。
分散
分散$V(X)$については、$V(X)=E(X ^{2})-E(X) ^{2}$から算出しましょう。
$$ \begin{align} E(X ^{2}) &= \int _{0} ^{\infty} x ^{2}\frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} x ^{\frac{n}{2}-1} e ^{-\frac{x}{2}} dx \newline &= \int _{0} ^{\infty} \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} x ^{\left(\frac{n}{2} + 2 \right)-1} e ^{-\frac{x}{2}} dx \end{align} $$
先と同様なのですが、ガンマ関数の性質により$\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)$は次のように変形できます。
$$ \begin{align} \Gamma \left(\frac{n}{2}\right) &= \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2} +1 \right)}{\frac{n}{2}} \newline &= \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2} +2 \right)}{\frac{n}{2} \left(\frac{n}{2} +1 \right)} = 2 ^{2} \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2} +2 \right)}{n(n+2)}\newline \end{align} $$
これを$E(X ^{2})$の式に代入します。
$$ \begin{align} E(X ^{2}) &= \int _{0} ^{\infty} \frac{n(n+2)}{2 ^{\frac{n}{2}} 2 ^{2} \Gamma \left(\frac{n}{2} + 2\right)} x ^{\left(\frac{n}{2} + 2 \right)-1} e ^{-\frac{x}{2}} dx \newline &= n (n+2) \int _{0} ^{\infty} \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2} + 2} \Gamma \left(\frac{n}{2} + 2\right)} x ^{\left(\frac{n}{2} + 2 \right)-1} e ^{-\frac{x}{2}} dx \end{align} $$
被積分関数はパラメータ$\frac{n}{2}+2$のカイ二乗分布に関する確率密度関数なので、期待値のときの議論と同様に、その積分の値は1になります。
$$ \therefore E(X ^{2}) = n(n+2) $$
あとは$V(X)$を求めるだけです。
$$ \begin{align} V(X) &= E(X ^{2})-E(X) ^{2} \newline &= n(n+2) - n ^{2} \newline &= n(n+2-n) \newline &= 2n \end{align} $$
