今日は$t$分布の期待値と分散を求めます。

自由度が$m$である$t$分布の確率密度関数は次の式でした。

$$ f _{m} (t) = \frac{\Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)}{\sqrt{\pi m} \cdot \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \left( 1 + \frac{t ^{2}}{m} \right) ^{- \frac{m+1}{2}} $$

結論から言えば、期待値、分散はそれぞれ次のようになります。ただし、分散は$m > 2$の場合にのみ存在します。

$$ \begin{align} E(X) &= 0 \newline V(X) &= \frac{m}{m-2} \end{align} $$

期待値

定義から、期待値$E(X)$は次の式で表せます。

$$ \begin{align} E(X) &= \int _{-\infty} ^{\infty} xf(x)dx \newline &= \int _{-\infty} ^{\infty} x \frac{\Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)}{\sqrt{\pi m} \cdot \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \left( 1 + \frac{x ^{2}}{m} \right) ^{- \frac{m+1}{2}} dx \end{align} $$

ここで被積分関数は奇関数であるから、$E(X)=0$になります。

分散

分散$V(X)=E(X ^{2}) - E(X) ^{2}$ですが、上で述べたように$t$分布の$E(X)=0$であるので、$V(X)=E(X ^{2})$。すなわち、$t$分布に関しては、分散と２次モーメントが一致します。

この２次モーメントを計算してみましょう。

$$ \begin{align} V(X) = E(X ^{2}) &= \int _{-\infty} ^{\infty} x ^{2} f(x)dx \newline &= \int _{-\infty} ^{\infty} x ^{2} \frac{\Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)}{\sqrt{\pi m} \cdot \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \left( 1 + \frac{x ^{2}}{m} \right) ^{- \frac{m+1}{2}} dx \newline &= \frac{\Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)}{\sqrt{\pi m} \cdot \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \int _{-\infty} ^{\infty} x ^{2} \left( 1 + \frac{x ^{2}}{m} \right) ^{-\frac{m+1}{2}} dx \newline &= \frac{2\Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)}{\sqrt{\pi m} \cdot \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \int _{0} ^{\infty} x ^{2} \left( 1 + \frac{x ^{2}}{m} \right) ^{-\frac{m+1}{2}} dx \end{align} $$

ここで積分の項を$I$とおきます。

$$ I \equiv \int _{0} ^{\infty} x ^{2} \left( 1 + \frac{x ^{2}}{m} \right) ^{-\frac{m+1}{2}} dx $$

積分項を求める

変わった置換になりますが$1 + \frac{x ^2}{m} = \frac{1}{t}$とおきます。$x$が$0 \rightarrow \infty$のとき、$t$は$1 \rightarrow 0$です。また、$dx$も求めておきましょう。

$$ \begin{align} x ^{2} &= m\left( \frac{1}{t} - 1\right) \newline \therefore x &= \sqrt{m} \left( \frac{1}{t} - 1\right) ^{\frac{1}{2}} \newline \therefore dx &= \frac{\sqrt{m}}{2}\left( \frac{1}{t} - 1\right) ^{-\frac{1}{2}} \left( - t ^{-2}\right)dt \newline &= -\frac{\sqrt{m}}{2}\left(\frac{1-t}{t} \right) ^{-\frac{1}{2}}t ^{-2} dt \newline &= -\frac{\sqrt{m}}{2}(1-t)^{-\frac{1}{2}}t ^{-\frac{3}{2}}dt \end{align} $$

これらを利用して$I$を求めていきます。

$$ \begin{align} I &= \int _{1} ^{0} m \left(\frac{1}{t} - 1\right)t ^{\frac{m+1}{2}}\left( -\frac{\sqrt{m}}{2}(1-t)^{-\frac{1}{2}}t ^{-\frac{3}{2}}\right) dt \newline &= \frac{m ^{\frac{3}{2}}}{2} \int _{0} ^{1} t ^{-1-\frac{3}{2}+\frac{m+1}{2}} (1-t) ^{1-\frac{1}{2}} dt \newline &= \frac{m ^{\frac{3}{2}}}{2} \int _{0} ^{1} t ^{\left( \frac{m}{2} -1\right)-1} (1-t) ^{\frac{3}{2}-1} dt \newline &= \frac{m ^{\frac{3}{2}}}{2} B \left( \frac{m}{2}-1, \frac{3}{2} \right) \newline &= \frac{m ^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{\Gamma \left( \frac{m}{2}-1 \right) \Gamma \left( \frac{3}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{m+1}{2}\right)} \end{align} $$

ここで、上の式変形においては、次のベータ関数の定義、およびベータ関数とガンマ関数の関係を利用しました。

$$ \begin{align} B(x,y) &\equiv \int _{0} ^{1} t ^{x-1} (1-t) ^{y-1} dt \newline B(x,y) &= \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \end{align} $$

分散を求める

$I$の値を$V(X)$の式に代入します。

$$ \begin{align} V(X) &= \frac{2\Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)}{\sqrt{\pi m} \cdot \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \cdot \frac{m ^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{\Gamma \left( \frac{m}{2}-1 \right) \Gamma \left( \frac{3}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{m+1}{2}\right)} \newline &= \frac{m}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma \left( \frac{m}{2}-1 \right) \Gamma \left( \frac{3}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \newline &= \frac{m}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma \left( \frac{m}{2}-1 \right) \frac{1}{2} \sqrt{\pi}}{\left( \frac{m}{2}-1\right) \Gamma \left( \frac{m}{2} -1 \right)} \newline &= \frac{m}{2\left( \frac{m}{2} - 1\right)} \newline &= \frac{m}{m-2} \end{align} $$

よって、$t$分布の分散は$\frac{m}{m-2}$であることが示せました。

なお式変形の過程においては、ガンマ関数の以下の性質を使っています。