極限操作と積分の順序を入れ替えても良い条件については、ルベーグの単調収束定理が有名です。これは、非負値可測関数列$\lbrace f _{n} \rbrace$が単調増加列であることを必要としています。

今日はある可積分関数$\varphi(x)$の存在を前提として極限操作と積分の順序交換が可能であることを示す、ルベーグの収束定理を見ていきます。

ルベーグの収束定理

ルベーグの収束定理は次のように表されます。

関数 $f _{n}(x)\; (n=1,2,\cdots)$が$E$で可測、また、$E$の上で積分可能な関数$\varphi(x)$が存在し$E$の各点で$|f _{n}(x)| \leq \varphi(x)$ならば、以下が成り立つ。

$\displaystyle \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} f _{n}(x) du \geq \int _{E} \varliminf _{n \to \infty} f _{n}(x) du$
$\displaystyle \varlimsup _{n \to \infty} \int _{E} f _{n}(x) du \leq \int _{E} \varlimsup _{n \to \infty} f _{n}(x) du$
$\displaystyle f = \lim _{n \to \infty} f _{n}$が存在すれば、$\displaystyle \lim _{n \to \infty} \int _{E} f _{n}(x) du = \int _{E} f(x) du$が成り立つ。

証明

証明はシンプルで、次のファトゥの補題を用います。

$E$の上で$f _{n} \geq 0$ならば以下が成り立つ。

$$ \int _{E} \varliminf _{n \to \infty} f _{n} d\mu \leq \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu $$

まず、$|f _{n}(x)| \leq \varphi(x)$という前提から、次のことが即座に言えます。

$$ \begin{align} \varphi + f _{n} &\geq 0 \newline \varphi - f _{n} &\geq 0 \end{align} $$

それぞれにファトゥの補題を適用した上で、辺々整理します。これが1つ目と2つ目の不等式に対応します。

$$ \begin{align} \int _{E} \varliminf _{n \to \infty} (\varphi + f _{n})d\mu = \int _{E} \varphi d\mu + \int _{E} \varliminf _{n \to \infty} f _{n} d\mu & \leq \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} (\varphi + f _{n}) du = \int _{E} \varphi d\mu + \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu \newline \therefore \int _{E} \varliminf _{n \to \infty} f _{n} d\mu &\leq \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu \newline \int _{E} \varliminf _{n \to \infty} (\varphi - f _{n})d\mu = \int _{E} \varphi d\mu - \int _{E} \varlimsup _{n \to \infty} f _{n} d\mu & \leq \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} (\varphi - f _{n}) du = \int _{E} \varphi du - \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} du\newline \therefore \int _{E} \varlimsup _{n \to \infty} f _{n} d\mu &\geq \varlimsup _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu \end{align} $$

$\displaystyle f = \lim _{n \to \infty} f _{n}$が存在する場合、$\displaystyle \varliminf _{n \to \infty} f _{n} = \varlimsup _{n \to \infty} f _{n} = f$となり、上記2つの不等式から次が言えます。

$$ \varlimsup _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu \leq \int _{E} f d\mu \leq \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu $$

一方で$\sup$と$\inf$の関係から、次の不等式が成り立ちます。

$$ \varliminf _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu \leq \varlimsup _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu $$

これらから、$\displaystyle \lim _{n \to \infty} \int _{E} f _{n} d\mu = \int _{E} f d\mu$が成り立ちます。

ルベーグの有界収束定理

定数$M > 0$が存在して$E$の上で$|f _{n}(x)| \leq M \;(n=1,2,\cdots)$である、かつ、$\displaystyle f=\lim _{n \to \infty} f _{n}$が存在するならば、$\displaystyle \lim _{n \to \infty} \int _{E} f _{n}(x) du = \int _{E} f(x) du$が成り立ちます。

これは、ルベーグの収束定理における$\varphi(x)=M$とおけば即座に導かれます。