理系学生日記

おまえはいつまで学生気分なのか

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不完全性定理

不確定性原理を読んだら,次は不完全性定理を読まねばならんだろうと,ぼくは昔読んだ本を引っ張り出して,通勤時間とかで読んだりした.

不完全性定理―数学的体系のあゆみ (ちくま学芸文庫)

不完全性定理―数学的体系のあゆみ (ちくま学芸文庫)

ぼくの誤読の恐れが大いにあったりするんですけど,

自然数論を含む述語論理の体系 Z は,もし無矛盾ならば,形式的に不完全である

という第 1 不完全性定理がこの本の大きな焦点なのかなという印象を持っています.ただし,

自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。

ゲーデルの不完全性定理 - Wikipedia

という第 2 不完全性定理が載っていないというわけではないです.

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数学では証明とかたくさんでるんですけど,それはもちろん正しくないといけない.結論は正しくないといけないし,正しいか正しくないか判別できないといけない.
はずだったんですけど,残念ながら自然数論の中には正しいか正しくないか分からないような問題が存在してしまう,自然数論は自然数の性質を完全に言うことができないんだよというはなし.