理系学生日記

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ガウスの定理を理解しよう

やはり量子力学を学ぶためにはその前段として電磁気学の基礎を学んでいた方がよかろうかと思い立ちました。
というわけで、今日は、物理というよりは数学の匂いがしますが、ガウスの定理を理解しなおしましょう。
ガウスの定理とは、
\int_{S}\mathbf{C}\cdot \mathbf{n}\;da=\int_V \nabla \cdot \mathbf{C}\;dV
ってヤツです。ここで、Sは任意の閉曲面、Vはその内部の体積です。

考え方

小さい立方体を考えましょう。この小さい立方体は極限まで小さいんだけど、x,y,z方向に、それぞれ\Delta x,\Delta y,\Delta zだけの厚さを持ってるものとします。
この立方体の面を通るベクトル場Cの流束ってヤツは、立方体の 6 つの面を通る流束の和になります。ここでは、立方体のある面を 1 つだけ考えましょう。
この面からの外向きの流束は、当該の面を構成する頂点の 1 つを点 A とすると、-\int_{\mathrm{S_1}}C_x(A)dydz\Delta y \Delta zってことになります。ここで、C_x(A)ってのは、Cx方向(面に直交する方向にx軸を取るとします)の成分としてます。
一方で、立方体上でこの面と相対する面については、\left[\int_{\mathrm{S_2}}C_x(A)dydz + \frac{\partial C_x}{\partial x}\Delta x \right]\Delta y\Delta z。したがって、これら両面から出る流束はこれらの和となり、\frac{\partial C_x}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta zとなります。もう 4 つの面についても同様の議論を行うと、全面から出る流束は、これらの総和なので、\int_{\mathrm{S}}\mathbf{C}\cdot \mathbf{n}\;da=\left(\frac{\partial C_x}{\partial x}+\frac{\partial C_y}{\partial y}+\frac{\partial C_z}{\partial z}\right)\Delta x\Delta y\Delta z。ここで微分の形はまさに\nabla \cdot \mathbf{C}であるので、\Delta V=\Delta x \Delta y\Delta zとすると、\int_{\mathrm{S}}\mathbf{C}\cdot \mathbf{n}\;da=(\nabla \cdot C)\Delta VVを極限まで小さくすると、\int_{S}\mathbf{C}\cdot \mathbf{n}\;da=\int_V \nabla \cdot \mathbf{C}\;dV ですね。