理系学生日記

おまえはいつまで学生気分なのか

代数的構造の概念まとめ

math

最近また wikipedia 巡りをして現実を逃避することが増えてきており、現実逃避によって学んだ代数的構造をここで披露いたします。
大学以来に抽象代数学に触れたけど、ほとんど忘れてて面白かった。
限られた前提から結論を導くことによって、その結論の適用範囲が非常に広くなる、というのはスゴく面白いと思う。その考えを突き詰めていくと、さらにメタな圏論に向かうのだけれど、圏論は具体性がつかみにくくてつらいかんじだった。

マグマ

集合 $M$ とその上の二項演算 $M\times M\rightarrow M$ からなる組を言う。

半群

$\forall a,b,c \in S\; (a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ (結合律)が成り立つマグマ。

モノイド

$\exists e \in S\; \forall a \in S\; e\times a = a\times e = a$ となるような元 $e$ (単位元)が存在する半群

群

$\forall a \in S\; \exists b \in S\; a\times b = b \times a = e$ (逆元の存在) を満たすモノイド

アーベル群

$\forall a \in S\; \forall b \in S\; a\times b = b \times a$ (交換法則) を満たす群

この後、環にいって体に行くもよし、環からイデアルの方に向かうもいいのだけれど、現実逃避してたら明日起きることのできない時間になったのでもう寝る。