整数から整域・体へ - 理系学生日記

イデアル

$I$ が $\mathbb{Z}$ の空でない部分集合で、 $a,b\in I, x\in \mathbb{Z}\Rightarrow a+b, ax\in I$ という性質を持つとき、 $I$ を $\mathbb{Z}$ のイデアルと言う。

$\mathbb{Z}$ のイデアル $I$ はある整数 $d(\le 0)$ を用いて $I=(d)$ と表される。

証明

$I$ の元が0だけのときは、 $I=(0)$ である。これ以外のとき、 $I$ には正整数が含まれる。このとき、 $I$ に含まれる最小の整数を $d$ とする。 $\forall a\in I$ について、 $a=dq+r;\; 0\le r < d$ と表すことができる。ここで、 $a,d\in I$ であるから、イデアルの定義から $a+d(-q)=r\in I$ 。ところが、 $d$ は $I$ に含まれる最小の整数であること、及び $0 \le r < d$ より、 $r=0$ 。つまり、 $a=dq$ であるから、 $a\in (d)$ 。つまり、 $I\subset (d)$ 。
また、[d\in I]であるから、 $dx\in I$ すなわち $(d)\subset I$ 。よって $I=(d)$ 。

合同式

$a,b\in \mathbb{Z}$ 、 $m\in \mathbb{N}$ とする。 $a-b\in (m)$ のとき、 $a\equiv b (\textrm{mod} m)$ と表し、 $a,b$ は $m$ を法として合同であるという。
この関係は同値関係である。

証明

$\forall a \in (m)$ について、 $a-a=0\in (m)$ 。よって、 $a\equiv a\;(\textrm{mod} m)$ 。
$a\equiv b\;(\textrm{mod} m)\Rightarrow a-b\in (m)\Rightarrow \exists q\in \mathbb{Z}\;a-b=mq$ 。故に $b-a\equiv -mq \in (m)$ 。
$a\equiv b\;(\textrm{mod} m)$ 、および $b\equiv c\;(\textrm{mod} m)$ であるから、 $\exists q,r\in\mathbb{Z}\;a-b=mq, b-c=mr$ 。よって、 $(a-b)+(b-c)=a-c=mq+mr=m(q+r)\in(m)$ 。

剰余類

整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ を、 $m\in\mathbb{N}$ を法として互いに合同な数からなる $m$ 個の集合に分けることができる。これを $C(0),C(1),\cdots,C(m-1)$ と表し $m$ を法とした剰余類と言う。 $C(a)$ について、 $a$ を剰余類の代表元と言う。
$m$ を法とした剰余類の集合を $\mathbb{Z}/(m)$ と表す。

剰余環

$\mathbb{Z}/(m)$ において

$C(a)+C(b)=C(a+b)$
$C(a)-C(b)=C(a-b)$
$C(a)C(b)=C(ab)$

と定めたとき、 $Z/(m)$ を $m$ を法とする剰余環と言う。

可換環

集合 $R$ に対し、 $\forall a,b\in R$ に対して

$(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)$
$a+b=b+a,ab=ba$
$\forall a\in R\Rightarrow \exists 0\in R\;a+0=a$
$\forall a\in R \exists x\in R\; a+x=0$
$a(b+c)=ab+ac$

が成り立つとき、このような集合 $R$ を可換環という。 $0$ を零元と言う。

部分環

可換環 $R$ の空でない部分集合 $S$ が $a,b\in S\Rightarrow a+b\in S, a-b\in S, ab\in S$ を満たすとき、 $S$ を $R$ の部分環という。さらに $R$ の部分環 $I$ が $a\in I, x\in R\Rightarrow ax\in I$ を満たすとき、 $I$ を $R$ のイデアルという。

$d\in R$ とするとき、 $(d)=\{dx\;x\in R\}$ を $d$ の生成する単項イデアルという。
イデアル $I$ を基にして $\forall a,b\in R$ が $a\equiv b;\;(\textrm{mod} I)$ であることを $a-b\in I$ と定義すると、この関係は $R$ の中の同値関係である。

証明

$a-a=0\in I$
$a\equiv b \;(\textrm{mod} I)\Rightarrow (a-b)\in I$ 。 $-1\in R$ をかけて $(-1)(a-b)=b-a\in I$ 。
$a\equiv b \;(\textrm{mod} I),b\equiv c \;(\textrm{mod} I)$ とすると、 $(a-b)\in I, b-c\in I$ 。 $(a-b)+(b-c)=a-c\in I$ 。

剰余類・剰余環

$a\in R$ に同値な $R$ の元の集合を $C(a)$ と表し、 $a$ の属する剰余類と言う。
$C(a)+C(b)=C(a+b),\;C(a)C(b)=C(ab)$
と定める。 $C(a)$ 全体の集合を $R/I$ で表すとき、 $R/I$ はこの演算により環である。これをイデアル $I$ による剰余環という。

整域

$\forall a,b\in R, a\ne 0, b\ne 0, ab=0$ を満たすとき、 $a,b$ を $R$ の零因子という。
単位元を持ち零因子を持たない可換環を整域と言う。整域では、 $ab=0\Rightarrow a=0$ または $b=0$ が成り立つ。

素イデアル

単位元を持つ環 $R$ のイデアル $P\ne R$ が $ab\in P\Rightarrow a\in P$ または $b\in P$ を満たすとき、 $P$ を素イデアルという。
イデアル $P$ が素イデアルであるための必要十分条件は、剰余環 $R/P$ が整域であることである。

証明

$P$ を素イデアルであるとする。 $R/P$ について、 $C(a)C(b)=C(0)$ とすると、 $C(ab)=C(0)$ であるから、 $ab\in P$ となる。 $P$ は素イデアルであるから、 $a\in P$ または $b\in P$ となり、 $C(a)=0$ または $C(b)=0$ となる。

次に、剰余環 $R/P$ が整域であるとする。このとき、
$C(a)C(b)=C(ab)= C(0)\rightarrow C(a)=C(0)$ または $C(b)=0$
$\Leftrightarrow ab\equiv 0 (\textrm{mod} I) \rightarrow a\equiv 0 (\textrm{mod} I)$ または $b\equiv 0 (\textrm{mod} I)$
$\Leftrightarrow ab\in I \rightarrow a\in I$ または $b\in I$

体

単位元1を持つ可換環 $F$ において、0でない任意の元 $a$ が $ax=1$ となる元 $x\in F$ を持つとき、 $F$ を体という。 $x$ を $a^{-1}$ で表し、 $a$ の逆元と言う。

体は整域である。

証明

$\forall a,b\in F$ について $a\ne 0$ かつ $b\ne 0$ と仮定する。 $a,b\ne 0$ であるからそれぞれ逆元 $a^{-1},b^{-1}$ が存在する。 $(ab)(a^{-1}b^{-1})=1\ne 0$ であるから、 $a=0$ または $b=0$ 。