イデアル
が
の空でない部分集合で、
という性質を持つとき、
を
のイデアルと言う。
のイデアル
はある整数
を用いて
と表される。
証明
の元が0だけのときは、
である。これ以外のとき、
には正整数が含まれる。このとき、
に含まれる最小の整数を
とする。
について、
と表すことができる。ここで、
であるから、イデアルの定義から
。ところが、
は
に含まれる最小の整数であること、及び
より、
。つまり、
であるから、
。つまり、
。
また、[d\in I]であるから、すなわち
。よって
。
合同式
、
とする。
のとき、
と表し、
は
を法として合同であるという。
この関係は同値関係である。
証明
について、
。よって、
。
。故に
。
、および
であるから、
。よって、
。
剰余類
整数全体の集合を、
を法として互いに合同な数からなる
個の集合に分けることができる。これを
と表し
を法とした剰余類と言う。
について、
を剰余類の代表元と言う。
を法とした剰余類の集合を
と表す。
剰余環
において
と定めたとき、を
を法とする剰余環と言う。
可換環
集合に対し、
に対して
が成り立つとき、このような集合を可換環という。
を零元と言う。
部分環
可換環の空でない部分集合
が
を満たすとき、
を
の部分環という。さらに
の部分環
が
を満たすとき、
を
のイデアルという。
とするとき、
を
の生成する単項イデアルという。
イデアルを基にして
が
であることを
と定義すると、この関係は
の中の同値関係である。
証明
。
をかけて
。
とすると、
。
。
剰余類・剰余環
に同値な
の元の集合を
と表し、
の属する剰余類と言う。
と定める。全体の集合を
で表すとき、
はこの演算により環である。これをイデアル
による剰余環という。
整域
を満たすとき、
を
の零因子という。
単位元を持ち零因子を持たない可換環を整域と言う。整域では、または
が成り立つ。
素イデアル
単位元を持つ環のイデアル
が
または
を満たすとき、
を素イデアルという。
イデアルが素イデアルであるための必要十分条件は、剰余環
が整域であることである。
証明
を素イデアルであるとする。
について、
とすると、
であるから、
となる。
は素イデアルであるから、
または
となり、
または
となる。
次に、剰余環が整域であるとする。このとき、
または
または
または
体
単位元1を持つ可換環において、0でない任意の元
が
となる元
を持つとき、
を体という。
を
で表し、
の逆元と言う。
体は整域である。
証明
について
かつ
と仮定する。
であるからそれぞれ逆元
が存在する。
であるから、
または
。
剰余体
を素数
を法とした剰余体という。
は
個の元を持つが、このように有限個数の元からなる体を有限体という。
極大イデアル
単位元を持たない可換環の
と異なるイデアル
が、
*1となるイデアル
を持たないとき、
を極大イデアルという。
が極大イデアルであることの必要十分条件は、
が体であることである。
*1:真部分集合