準同型定理 - 理系学生日記

準同型写像

2 つの群 $G, G'$ があり、 $G$ から $G'$ の中への写像 $\phi$ が次の条件を満たすとき、 $\phi$ を $G$ から $G'$ への準同型写像という。つまり、 $\forall g_1, g_2\in G \Rightarrow \phi(g_1g_2)=\phi(g_1)\phi(g_2)$ 。
特に $\phi$ が 1 対 1 写像のとき、同型写像と言う。

定理

$\phi(e)=e'$
$\phi(g^{-1})=\{\phi(g)\}^{-1}$

証明

$\phi(eg_2)=\phi(g_2)=\phi(e)\phi(g_2)$ 。 $G'$ は群であるから、 $\phi(g_2)$ には逆元が存在する。これを両辺にかけると $\phi(g_2)\{\phi(g_2)\}^{-1}=e'=\phi(e)$
$\phi(gg^{-1})=\phi(e)=e'=\phi(g)\phi(g^{-1})$ 。ここで両辺に $\phi(g)$ の逆元をかけると、 $\{\phi(g)\}^{-1}=\phi(g^{-1})$

定理

$\phi$ が群 $G$ から群 $G'$ の中への準同型写像とするとき、 $N=\{n\in G; \phi(n)=e'\}$ は $G$ の正規部分群である。
$N$ を $\mathrm{Ker}\phi$ と表し、 $\phi$ の核と言う。

証明

部分群であること)
$\forall n_1,n_2\in N$ について、 $\phi(n_1)=\phi(n_2)=e'$ 。よって、 $\phi(n_1n_2^{-1})=\phi(n_1)\phi(n_2^{-1})=e'\{\phi(n_2)\}^{-1}=e'e'=e'$ 。
したがって、 $n_1n_2^{-1}\in N$ であるから、 $N$ は $G$ の部分群である。

正規性)
$\forall n\in N, \forall g\in G$ について、 $\phi(g^{-1}ng)=\phi(g^{-1})\phi(n)\phi(g)=\{\phi(g)\}^{-1}e'\phi(g)=e'$ より $g^{-1}ng\in G$ 。よって、 $N$ は正規である。

定理

$\phi$ を群 $G$ から $G'$ の中への準同型写像とするとき、

$H'$ が $G'$ の部分群のとき、 $H'$ の完全逆像 $\phi^{-1}(H')$ は $G$ の部分群。
$N'$ が $G'$ の正規部分群のとき、 $\phi^{-1}(N')$ は $G$ の正規部分群である。

証明

$\forall h_1,h_2\in \phi^{-1}(H')$ のとき、 $\phi(h_1)\,\phi(h_2) \in H'$ 。 $H'$ は群であり、乗算について閉じているから、 $\phi(h_1h_2)=\phi(h_1)\phi(h_2)\in H'$ 。よって $h_1h_2\in\phi^{-1}(H')$ 。また、 $\phi(h_1) \in H'$ であり、 $H'$ は群であるから、 ${\phi(h_1)}^{-1}=\phi(h_1^{-1})\in H'$ 。よって、 $h_1^{-1}\in \phi^{-1}(H')$ 。
$\forall g\in G, \forall n\in \phi^{-1}(N')$ とする。ここで $\phi^{-1}(N')$ の定義より、 $\phi(n)\in N'$ 。また、 $\phi(g)\in G'$ であり、 $\phi(g^{-1})=\{\phi(g)\}^{-1}\in G'$ であることを踏まえると、 $\phi(g^{-1}ng)=\phi(g^{-1})\phi(n)\phi(g)\in G'$ 。故に $g^{-1}ng \in \phi^{-1}(N')$ 。