準同型写像
2 つの群 があり、からの中への写像が次の条件を満たすとき、をからへの準同型写像という。つまり、。
特に が 1 対 1 写像のとき、同型写像と言う。
定理
証明
- 。は群であるから、には逆元が存在する。これを両辺にかけると
- 。ここで両辺にの逆元をかけると、
定理
が群 から群 の中への準同型写像とするとき、 は の正規部分群である。
をと表し、 の核と言う。
証明
部分群であること)
について、。よって、。
したがって、 であるから、 は の部分群である。
正規性)
について、 より 。よって、 は正規である。
定理
を群 からの中への準同型写像とするとき、
- がの部分群のとき、の完全逆像はの部分群。
- がの正規部分群のとき、はの正規部分群である。
証明
- のとき、。は群であり、乗算について閉じているから、。よって。また、 であり、は群であるから、。よって、。
- とする。ここでの定義より、。また、であり、であることを踏まえると、。故に。