正規作用素に関する十分性の証明

からへの線形作用素が固有値問題の解となるための必要十分条件は が成り立つことである。

を証明しましょう。ちなみに、このような関係を満たす作用素を正規作用素と言います。

あいかわらず tex 記法は時間がかかるので、今日は十分性の証明です。

十分性

まず、 が成り立ったと仮定しましょう。
は線形作用素であるので固有値を持ちます。そして、その固有空間は複素ベクトル空間を構成します。
ここで、に対して、となるので、。
一方で、も線形作用素なので、固有値を持ちます。この固有ベクトルをとすると、定義から。ここで、上述の通りであるから、。つまり、とは同じ固有ベクトルを持つことになります。

について、を代入すると、。
ここで、の形のベクトル全体からなる1次元の部分空間をと書くことにし、と直交分解してみます。このとき、に対してだから、上式のとなり、が示されることになります。

次に、について、を代入してみましょう。
すると、となります。ここで同様にをと直交分解すると、やっぱりに対してだから、となります。

以上より、は双方ともに、をに移していることがわかります。
もベクトル空間であるから、この議論を再帰的に繰り返すことによって、と直交分解されることになります。また、このをと置き換えても、この式は明らかに成り立つことは当然ですね。
このとき、はの固有ベクトルからなる正規直交基底となっており、は固有値問題が成り立つ線形作用素と言えます。