■ - 理系学生日記

クーロンの法則からはじめましょう。
クーロンの法則は、2 電荷間に働く力を表したもので、2 電荷の間には電荷の積に比例し、距離の二乗に逆比例する力が働くというものですね。
$\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\mathbf{e_{12}}$
ここで、 $q_1,q_2$ はそれぞれの電荷、 $r_{12}$ は電荷1、電荷2間の距離、 $\mathbf{e_{12}}$ は電荷2から電荷1に向かう単位ベクトルです。

電荷1以外の全ての電荷によって、電荷1に働く単位電荷あたりの力を電場とかいいます。上の例だと $\frac{\mathbf{F}}{q_2}$ とシンプルですが、もっと電荷が多ければ、その電場は $\mathbf{E}=\sum_j \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_j}{r_{ij}^2}\mathbf{e_{1j}}$ なんてかんじで、全ての電荷による電場の総和になります。いわゆる重ね合わせの定理ってヤツですね。

静電ポテンシャル

さて、ここで静電位(静電ポテンシャル)の概念を取り入れましょう。
まず、ある電荷をある道筋に沿って運ぶとき、電気力に対してする仕事は、 $W=-\int_a^b\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}$ と表せます。ここでは、点 a から点 b に移動させるこおを考えていて、 $d\mathbf{s}$ は、その道筋に沿う微分変位ベクトルです。この仕事というのは、両端の点にしか関係しませんから、 $W=-\int_a^b\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=\phi(b)-\phi(a)$ という、空間の任意の点で決められる $\phi$ というスカラー場が存在することがわかります。これが静電ポテンシャルで、基準点を無限遠に取るとき $\phi=-\int_{\infty}^P\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}$ となります。
原点にただ 1 つの電荷 $q$ があるときの静電ポテンシャルは $\frac{q}{4\pi\epsilon}\frac{1}{r}$ ですね。

$\nabla\phi$

いまここで、点 $(x,y,z)$ から点 $(x+dx,y,z)$ まで単位電荷を動かすときの仕事を考えましょう。
これは簡単で $\Delta W=\phi(x+dx,y,z)-\phi(x,y,z)=\frac{\partial \phi}{\partial x}dx$ ですね。また、 $\Delta W=-\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=-E_xdx$ でもありますから、両者を比較して $E_x=-\frac{\partial \phi}{\partial x}$ が分かります。 $y,z$ 軸についても同様に考えると、 $\mathbf{E}=-\nabla \phi$ ってことになります。