平面上のベクトル解析 - 理系学生日記

方向微分

ベクトル $(a,b)$ を考え、点が $(x,y)$ から $(a,b)$ の方向に動いたときに $f(x,y)$ がどのような割合で変化をするかを考えるとき、 $f(x+ta,y+tb)$ の $t$ についての微分を $t=0$ で考えれば良い。これを $(a,b)$ 方向の関数 $f$ の方向微分という。

勾配ベクトル場

$n$ 変数関数 $f$ に対して、その勾配ベクトル場を
$\mathrm{grad}f(x_1,\cdots,x_n)=\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\cdots,x_n),\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_1,\cdots,x_n)\right)$
で定義する。

線積分

$\mathbf{l}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2$ をパラメータとする道に沿ったベクトル場 $\mathbf{V}(p)$ の線積分 $\int_a^b\mathbf{V}\cdot d\mathbf{l}$ を $\int_a^b\mathbf{V}(\mathbf{l}(t))\cdot\frac{d\mathbf{l}}{dt}(t)dt$ で定義する。

このとき、 $\int_a^b\mathrm{grad}f\cdot d\mathbf{l}=f(\mathbf{l}(b))-f(\mathbf{l}(a))$ である。

証明

$\int_a^b\mathrm{grad}f\cdot d\mathbf{l}=\int_a^b\mathrm{grad}f\cdot\frac{d\mathbf{l}}{dt} dt=\int_a^b\frac{d(f\circ \mathbf{l})}{dt}dt=f(\mathbf{l}(b))-f(\mathbf{l}(a))$
これは、 $\mathbf{V}$ を領域 $\Omega$ 上のある関数の勾配ベクトル場とすると、 $\Omega$ 上の任意の道 $\mathbf{l}:[a,b]\rightarrow \Omega$ に沿った $\mathbf{V}$ の線積分 $\int_a^b\mathbf{V}\cdot d\mathbf{l}$ は、 $\mathbf{l}$ の両端のみにより、道 $\mathbf{l}$ の取り方に依らないことを示している。

ポテンシャル

ベクトル場 $\mathbf{V}$ について、 $-\mathrm{grad}f=\mathbf{V}$ なる関数 $f$ のことをポテンシャルという。

滑らかな開曲線

$\mathbb{R}^2$ の部分集合 $L$ が滑らかな開曲線であるとは、次の条件を満たす無限回微分可能な写像 $\mathbf{l}:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^2$ が存在することをいう。

$\mathbf{l}$ の像は $L$ である
$\mathbf{l}$ は単射である
$\mathbf{l}$ の微分 $\frac{d\mathbf{l}}{dt}$ は $\mathbf{0}$ にならない

滑らかな閉曲線

$\mathbb{R}^2$ の部分集合 $L$ が滑らかな閉曲線であるとは、次の条件を満たす $\mathbf{l}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2$ が存在することをいう。

$\mathbf{l}$ の像は $L$ である
$T>0$ が存在し、 $\mathbf{l}(t)=\mathbf{l}(t+T)$ が成り立つ
$\mathbf{l}$ の微分 $\frac{d\mathbf{l}}{dt}$ は $\mathbf{0}$ にならない

滑らかな開曲線と滑らかな閉曲線を合わせて滑らかな曲線という。

ジョルダンの定理

$\mathbf{L}$ を区分的に滑らかな閉曲線とすると、集合 $\mathbb{R}^2-L$ は互いに交わらない2つの領域の和に分かれる。一方は有界で一方はそうではない。

この有界な領域を閉曲線 $\mathbf{L}$ で囲まれた領域と呼ぶ。

滑らかな境界を持つ領域 $\Omega$

$\mathbf{R}^2$ の滑らかな境界を持つ領域 $\Omega$ とは、 $\Omega$ が連結な開集合であって、 $\Omega$ の境界 $\partial \Omega=\bar{\Omega}-\Omega$ が区分的に滑らかな曲線の和であることをいう。

接ベクトル

$L$ を曲線とし、 $\mathbf{l}$ をその正則パラメータとする。ベクトル $\mathbf{v}$ が $p=\mathbf{l}(t_0)$ での $L$ の接ベクトルであるとは、 $\mathbf{v}=c\frac{d\mathbf{l}}{dt}(t_0)$ なるスカラー $c$ が存在することを言う。
長さが1の接ベクトルのことを単位接ベクトルという。

法ベクトル

ベクトル $\mathbf{v}$ が $p=\mathbf{l}(t_0)$ での $L$ の法ベクトルであるとは、 $\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{l}}{dt}(t_0)=0$ であることをいう。

曲線の向き

正則パラメータ $\mathbf{l}(t)$ と $\mathbf{m}(s)$ が曲線 $L$ の同じ向きを定めるとは、 $\mathbf{l}(t)=\mathbf{m}(s)$ なる任意の $t,s$ について、 $\frac{d\mathbf{l}}{dt}(t)=C\frac{d\mathbf{m}}{ds}(s)$ なる正の数 $C$ が存在することをいう。

標準的な向き

単位接ベクトルを時計回りに90度回転したベクトルを単位法ベクトルという。
$L$ を閉曲線とし、その囲む領域を $\Omega$ とする。 $p\in L$ に対して $p$ での単位法ベクトルのうちで $\Omega$ の内側から外側に向かうものを考えると、これはただ一つに定まる。この結果、 $L$ の向きが定まり、これを $L$ の標準的な向きと呼ぶ。

線積分2

$\mathbf{F}(x)$ を $\mathbb{R}^2$ 上のベクトル場、 $L$ を向きの付いた滑らかな閉曲線とし、 $L$ の向きを保つ正則パラメータを $\mathbf{l}$ とする。このとき、線積分 $\int_L\mathbf{V}\cdot\mathbf{n}dL=\int_0^S||\dot{\mathbf{l}}||\mathbf{F}(\mathbf{l}(s),t)\cdot\mathbf{n}(s)ds$ と定義する。
ここで、 $S$ は $\mathbf{l}(s)=\mathbf{l}(s+S)$ となるようなスカラー。

発散

$\mathbf{V(x_1,\cdots,x_n)}=(V_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,V_n(x_1,\cdots,x_n))$ をn次元ユークリッド空間の領域 $\Omega$ で定義されたベクトル場とする。 $\mathbf{V}$ の発散 $\mathrm{div}\mathbf{V}$ は、
$\mathrm{div}\mathbf{V}(x_1,\cdots,x_n)=\frac{\partial V_1}{\partial x_1}(x_1,\cdots,x_n)+\cdots+\frac{\partial V_n}{\partial x_n}(x_n,\cdots,x_n)$
で定義されるスカラー値関数である。

ガウスの発散定理

$\Omega$ を滑らかな境界 $L$ を持つ平面上の有界領域とし、 $\mathbf{V}$ をベクトル場とする。このとき次の式が成立する。
$\int_L\mathbf{V}\cdot\mathbf{n}dL=\int_{\Omega}\mathrm{div}\mathbf{V}(x,y)dxdy$

回転

平面上のベクトル場 $\mathbf(V)(x,y)=(V_1(x,y),V_2(x,y))$ に対してその回転 $\mathrm{rot}\mathbf{V}$ を
$\mathrm{rot}\mathbf{V}(x,y)=\frac{\partial V_2}{\partial x}-\frac{\partial V_1}{\partial y}$
で定義する。

グリーンの公式

$\Omega$ を滑らかな境界 $L$ を持つ平面上の有界領域とし、 $\mathbf{V}$ をベクトル場とする。 $\mathbf{l}$ を $L$ の向きを保つ正則パラメータとする。このとき、
$\int_L \mathbf{V}\cdot d\mathbf{l}=\int_{\Omega}\mathrm{rot}\mathbf{V}(x,y)dxdy$