理系学生日記

おまえはいつまで学生気分なのか

正規作用素に関する必要性の証明

math

\mathbf{V}から\mathbf{V}への線形作用素Tが固有値問題の解となるための必要十分条件は TT^{*}=T^{*}Tが成り立つことである。

今日はこの必要性の証明です。


Tの固有ベクトル\{\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\cdots,\mathbf{e_n}\}からなる \mathbf{V}の正規直交基底が存在したことを仮定するところからスタートします。ここで、固有ベクトル\mathbf{e_i}\;(1\leq i\leq n)に対する固有値を\lambda_i\;(1\leq i\leq n)とおいておきます。

いま、T^*\mathbf{e_i}=T^*\sum_{i=1}\beta_i\mathbf{e_i}を考えましょう。この両辺について、\mathbf{e_j}との内積を取ると、\mathbf{e_i}は正規直交基底を成すことから、(T^*\mathbf{e_i},\mathbf{e_j})=(T^*\sum_{i=1}\beta_i\mathbf{e_i},\mathbf{e_j})=\beta_j。
一方、(T^*\mathbf{e_i},\mathbf{e_j})=\bar{(\mathbf{e_j},T^*\mathbf{e_i})}=\bar{(T\mathbf{e_j},\mathbf{e_i})}=\bar{(\lambda_j\mathbf{e_j},\mathbf{e_i})}=\bar{\lambda_j}(\mathbf{e_j},\mathbf{e_i})=\begin{cases}\bar{\lambda_i} & (j=i) \\ 0 & (j\neq i)\end{cases}。というわけなので、T^*\mathbf{e_i}=\bar{\lambda_i}\mathbf{e_i}となります。

む、これは結局 T^*の固有ベクトルは\mathbf{e_i}で、その固有値は\bar{\lambda_i}ということになります。で、

  • T^*T\mathbf{e_i}=T^*(\lambda_i\mathbf{e_i})=\lambda_i(T^*\mathbf{e_i})=\lambda_i\bar{\lambda_i}\mathbf{e_i}=|\lambda_i|^2\mathbf{e_i}
  • TT^*\mathbf{e_i}=T^*(\bar{\lambda_i}\mathbf{e_i})=\bar{\lambda_i}(T\mathbf{e_i})=\bar{\lambda_i}\lambda_i\mathbf{e_i}=|\lambda_i|^2\mathbf{e_i}

ていうわけなので、T^*T=TT^*てことですかね。