随伴作用素 - 理系学生日記

いま、 $\mathbf{V}$ から $\mathbf{V}$ への線形作用素 $T$ を考えましょう。
なお、ここでは便宜上、 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$ に対して $T(\mathbf{x})$ のことを $T\mathbf{x}$ と書くことにします。

このとき、 $\mathbf{y}\in\mathbf{V}$ について、 $\varphi_y(\mathbf{x})=(T\mathbf{x},\mathbf{y})$ とおくと、 $\varphi_y(\mathbf{x})\in \mathbf{C}$ で、 $\varphi_y(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}')=(T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}'),\mathbf{y})=(\alpha T\mathbf{x}+\beta T\mathbf{x}',\mathbf{y})$
$=\alpha (T\mathbf{x},\mathbf{y})+\beta (T\mathbf{x}',\mathbf{y})=\alpha\varphi_y(\mathbf{x})+\beta\varphi_y (\mathbf{x}')$ となるので、 $\varphi_y$ は $\mathbf{V}$ から $\mathbf{C}$ への線型写像である。
したがって、前回の話から、 $\varphi_y$ は $\exists \tilde{\mathbf{y}}\in V$ について、 $\varphi_y(\mathbf{x})=(T\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},\tilde{\mathbf{y}})$ と表される。

そこで、 $\tilde{\mathbf{y}}=T^*\mathbf{y}$ とおくと、 $(T\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},T^*\mathbf{y})$ 。
さらに、 $(\mathbf{x},T^*(\alpha\mathbf{y}+\beta\mathbf{y}'))=(T\mathbf{x},\alpha\mathbf{y}+\beta\mathbf{y}')$
$=\bar{\alpha}(T\mathbf{x},\mathbf{y})+\bar{\beta}(T\mathbf{x},\mathbf{y}')=(\mathbf{x},\alpha T^*\mathbf{x})+(\mathbf{x},\beta T^*\mathbf{y}')=\alpha T^*(\mathbf{x},\mathbf{y})+\beta T^*(\mathbf{x},\mathbf{y}')$ となるから、この $T^*$ も線形作用素である。

$T^*$ を、 $T$ の随伴作用素という。