内積と固有値問題 - 理系学生日記

内積

ベクトル空間 $\mathbf{V}$ の2つの元 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ に対して実数 $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ が対応し、次の性質を満たすとき、 $\mathbf{V}$ に内積が与えられたといい、 $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ を $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積と言う。

$(\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{a}',\mathbf{b})=\alpha (\mathbf{a},\mathbf{b})+\beta (\mathbf{a}',\mathbf{b})$

$(\mathbf{a},\mathbf{b})=(\mathbf{b},\mathbf{a})$

$(\mathbf{a},\mathbf{a})\geq 0$ ここで等号は $\mathbf{a}=\mathbf{0}$

内積が与えられたベクトル空間を計量をもつベクトル空間(あるいは、内積空間)という。内積空間の元 $\mathbf{a}$ に対し、 $||\mathbf{a}||=\sqrt{(\mathbf{a},\mathbf{b})}$ を $\mathbf{a}$ のノルムという。
$\mathbf{R}^n$ における、 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n), \mathbf{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ に対し、 $(\mathbf{a},\mathbf{b})=\sum_{i=1}^na_ib_i$ とおくと、 $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ は内積を与え、このとき $\mathbf{R}^n$ をn次元ユークリッド空間という。

$\mathbf{V}$ を内積空間とするとき、 $\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbf{V}$ に対し $(\mathbf{a},\mathbf{b})=0$ が成り立つとき、 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は直交するという。

n次元の内積空間 $\mathbf{V}$ の基底 $\{\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\cdots,\mathbf{e_n}\}$ が

$(\mathbf{e_i,e_j})=0\;(i\neq j)$

$||\mathbf{e_i}||=1\; (i=1,2,\cdots,n)$

を満たすとき、正規直交基底という。

固有値問題

ある $\mathbf{0}$ でないベクトル $\mathbf{x}$ が $T$ によって $\lambda$ 倍に移される状況がおきるとき、すなわち $T\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ が成り立つとき、 $\lambda$ を $T$ の固有値という

$\mathbf{V}$ に1つの正規直交基底を取って、 $\mathbf{V}$ と $\mathbf{R}^n$ を同一視する。このとき、 $T$ は $\mathbf{R}^n$ から $\mathbf{R}^n$ への線型写像として、n次の正方行列 $A$ によって表される(とする)。
$\mathbf{R}^n$ の基底ベクトルを $\{\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\cdots,\mathbf{e_n}\}$ とし、 $O=\left(\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\cdots,\mathbf{e_n}\right)$ と表すと、 $O$ は $\{\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\cdots,\mathbf{e_n}\}$ への基底変換の行列となり、 $B\mathbf{x}=O^{-1}AO\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ という $B$ が定義できる。
ここで、

n次の正方行列 $A$ が直交行列によって対角化可能となるための必要十分条件は、 ${}^tA=A$ が成り立つことである

今までは実数を考えてましたが、次回からはこれを複素数にまで展開する話になるようです。ようやく複素ベクトル空間でてくるな。