理系学生日記

おまえはいつまで学生気分なのか

2012 年ですから直交補空間の話をしましょう

math

まぁ落ち着いて、まずは複素ベクトル空間の内積の定義をしておきましょう。

複素ベクトル空間\mathbf{V}の 2 つの元 \mathbf{a},\mathbf{b}に対して、複素数(\mathbf{a},\mathbf{b})が対応し、次の性質を満たすとき、(\mathbf{a},\mathbf{b})を\mathbf{a}と\mathbf{b}の内積という

  1. \alpha,\beta\in\mathbf{C}に対し、(\alpha\mathbf{a_1}+\beta\mathbf{a_2},\mathbf{b})=\alpha(\mathbf{a_1},\mathbf{b})+\beta(\mathbf{a_2},\mathbf{b})
  2. (\mathbf{a},\mathbf{b})=\bar{(\mathbf{b},\mathbf{a})} ここで、(\bar{x}はxの共役複素数を表している)
  3. (\mathbf{a},\mathbf{a})\geq 0 ここで等号は\mathbf{a}=\mathbf{0}

ちなみに、(\mathbf{a},\mathbf{b})=0を満たすとき、\mathbf{a}と\mathbf{b}は直交していると言う点は実ベクトル空間の話と代わりません。複素ベクトル空間における直交の概念は、正直、直感的に分かりにくいと感じますが。
あと、\mathbf{C}^nに対して正規直交基底を定義し、\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)、\mathbf{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)に対する内積を(\mathbf{a},\mathbf{b})=\sum_{i=1}^na_i\bar{b_i}と定義したものを、n 次元複素ユークリッド空間と言います。

直交補空間

ようやく直交補空間です。
SをVの部分空間としましょう。このとき、Sの任意の元と直交するVの元全体の集合は、これもVの部分空間となります。これをS^{\bot}と書き、Sの直交補空間といいます。式として定義すれば、S^{\bot}=\left\{ \mathbf{x}|\forall \mathbf{y}\in S, (\mathbf{x},\mathbf{y})=0\right\}。

いま、\mathbf{x}\in S\cap S^{\bot}とすると、S^{\bot}の定義から(\mathbf{x},\mathbf{x})=0なので、\mathbf{x}=\mathbf{0}。つまり、\mathbf{S}\cap \mathbf{S^{\bot}}=\{\mathbf{0}\}ってことになります。

直交分解

Sの正規直交基底を\left\{\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\cdots,\mathbf{e_k}\right\}とします。\mathbf{x}\in Vに対して
\tilde{\tilde{\mathbf{x}}}=\mathbf{x}-\sum_{i=1}^k(\mathbf{x},\mathbf{e_i})\mathbf{e_i}
とおくと、個々の\mathbf{e_i}は直交し、また、そのノルムは 1 だから、
(\tilde{\tilde{\mathbf{x}}},\mathbf{e_i})=(\mathbf{x},\mathbf{e_i})-(\mathbf{x},\mathbf{e_i})=0
となることから、\tilde{\tilde{\mathbf{x}}}は正規直交基底を構成するベクトルと直交していることになります。すなわち、\tilde{\tilde{\mathbf{x}}}\in S^{\bot}になります。

したがって、\tilde{\mathbf{x}}=\sum_{i=1}^k(\mathbf{x},\mathbf{e_i})\mathbf{e_i}とおくと、\mathbf{x}=\tilde{\mathbf{x}}+\tilde{\tilde{\mathbf{x}}}\;(\tilde{\mathbf{x}}\in S, \tilde{\tilde{\mathbf{x}}}\in S^{\bot})となり、\mathbf{x}\in VはSとS^{\bot}の成分に分解できるのです!
これを、SによるVの直交分解と呼びます。

直交分解V=S\bigoplus S^{\bot}に従って、\mathbf{x}\in Vを\mathbf{x}=\tilde{\mathbf{x}}+\tilde{\tilde{\mathbf{x}}}と表したとき、P\mathbf{x}=\tilde{\mathbf{x}}とおき、PをVからSの射影作用素と呼ぶ