ポアソン分布は、単位時間あたり平均$\lambda$回発生する事象について、ある時間中に発生する回数$X$が従う確率分布でした。
この「ある事象」が初めて発生するまでの待ち時間$W$が従う確率分布を「指数分布」と呼びます。今日は、この指数分布の確率密度関数を導出し、その期待値と分散を求めてみましょう。
導出
累積分布関数からの導出
ある$t \geq 0$に対して、$W \leq t$となる確率$F(t)$は、まさに累積分布関数になります。この累積分布関数を求めてみましょう。
$$ \begin{eqnarray} F(t) &=& 1 - P(W > 0) \newline &=& 1 - P( [0, t]\text{での発生回数が}0) \end{eqnarray} $$
ここで、事象の発生関数$k$はポアソン分布$Po( \lambda )$に従います。$[0, t]$における発生回数の期待値は$\lambda t$ですから、確率密度関数は$e ^{- \lambda t} \frac{x ^k}{k!}$となります。 従って、$[0,t]$での発生回数が$0$となる確率は$k=0$を代入して、$e ^{-\lambda t}$となります。
故に$F(t)$は次の式で表せます。
$$ F(t) = 1 - e ^{- \lambda t} $$
求めるべき確率密度関数は、累積分布関数の時間微分で求められます。
$$ f(t) = F'(t) = \lambda e ^{- \lambda t} $$
定義からの導出
上の図において、$t$が$[ x, x + \Delta x]$の間に事象が発生する確率を求めてみます。ここで$\Delta t$は微小期間とします。
まず確率密度関数の定義から、その確率は$f(x) \Delta x$であることがわかります。
また、事象が$[0, x)$では発生せず、かつ$(x, t]$では発生する確率というように考えると、次の式でも表現できます。
$$ \left(1 - \int _{0} ^{x} f(x)dx \right) \lambda \Delta x $$
この2つの式が等しいわけですから、その関係から$f(x)$を求められます。
$$ \begin{eqnarray} f(x)\Delta x &=& \left(1 - \int _{0} ^{x} f(x)dx \right) \lambda \Delta x \newline f(x) &=& \lambda \left(1 - \int _{0} ^{x} f(x)dx \right) \end{eqnarray} $$
この式の両辺を微分することで、常微分方程式に帰着します。
$$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& -\lambda f(x) \newline \frac{f'(x)}{f(x)} &=& -\lambda \newline \therefore \ln f(x) &=& \lambda x \newline \therefore f(x) &=& C e ^{- \lambda x} \end{eqnarray} $$
ここで$C$はお馴染み積分定数です。この積分定数の値を決めるため、こちらもお馴染みの$\int _{0} ^{\infty} f(x)dx = 1$を利用します。
$$ \begin{eqnarray} \int _{0} ^{\infty} f(x)dx = \int _{0} ^{\infty} C e ^{- \lambda x} dx &=& 1 \newline C \left[ -\frac{1}{\lambda} e ^{-\lambda x} \right] _{0} ^{\infty} &=& 1 \newline -\frac{C}{\lambda} (0 - 1) &=& 1 \newline \therefore C &=& \lambda \end{eqnarray} $$
これにより、求めるべき確率密度関数は$f(x) = \lambda e ^{- \lambda x}$になることがわかります。
期待値
期待値は定義式に当てはめれば容易に求められます。
$$ \begin{eqnarray} E[X] &=& \int _{0} ^{\infty} x \cdot \lambda e ^{- \lambda x} dx \newline &=& \left[-x e ^{- \lambda x} \right] _{0} ^{\infty} + \int _{0} ^{\infty} e ^{ - \lambda x } dx \newline &=& 0 + \left[ -\frac{1}{\lambda} e ^{- \lambda x } \right] _{0} ^{\infty} \newline &=& \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray} $$
分散
分散は$V[X] = E[X ^2] - E[X] ^2$から計算しましょう。
$$ \begin{eqnarray} E[X ^2] &=& \int _{0} ^{\infty} x ^2 \cdot \lambda e ^{ - \lambda x} dx \newline &=& \left[ -2 x e ^{-\lambda x} \right] _{0} ^{\infty} + 2 \int _{0} ^{\infty} x e ^{ - \lambda x} dx \newline &=& 0 + 2 \cdot \frac{1}{\lambda} E [ X ] \newline &=& \frac{2}{\lambda} \cdot \frac{1}{\lambda} \newline &=& \frac{2}{\lambda ^2} \end{eqnarray} $$
よって、分散は次のようになります。
$$ V[X] = \frac{2}{\lambda ^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right) ^2 = \frac{1}{\lambda ^2} $$
