ルベーグ積分を定義するにあたっては色々な準備が必要で、まずはその初歩となる加法族、完全加法的といった定義を押さえていきます。

有限加法族

与えられた空間$X$の部分集合の族$\mathfrak{F}$が以下の条件を満たすとき、$\mathfrak{F}$を有限加法族と呼びます。

$\emptyset \in \mathfrak{F}$
$A \in \mathfrak{F} \Rightarrow A ^{C} \in \mathfrak{F}$
$A, B \in \mathfrak{F} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{F}$

補集合、和集合について閉じている族であるという感じでしょうか。この性質自体から、$\emptyset ^{C} = X \in \mathfrak{F}$や$(A ^{C} \cup B ^{C}) ^{C} = (A ^{C}) ^{C} \cap (B ^{C}) ^{C} = A \cap B \in \mathfrak{F}$などが証明でき、積集合や差集合にも閉じていることが導けます。

有限加法的測度（Jordan測度)

定義

空間$X$とその部分集合の有限加法族$\mathfrak{F}$があって、$\mathfrak{F}$-集合関数$m(A)$が次の条件を満たすとき、$m$を$\mathfrak{F}$上の有限加法的測度 (Jordan測度)と呼びます。

$\forall A \in \mathfrak{F} \Rightarrow 0 \leq m(A) \leq \infty$、特に$m(\emptyset) = 0$
$A, B \in \mathfrak{F}, A \cap B = \emptyset \Rightarrow m(A+B) = m(A) + m(B)$

この2つの性質から、次の性質が導けます。

有限加法性

$$ A _{1}, \cdots, A _{n} \in \mathfrak{F}, A _{i} \cap A _{j} = \emptyset \quad (i \neq j) \Rightarrow m\left( \bigcup _{j=1} ^{n} A _{j}\right) = \sum _{j=1} ^{n} m(A _{j}) $$

これは、$A _{1}, \cdots, A _{n} \in \mathfrak{F}$という前提と、$\mathfrak{F}$が有限加法族であることから明らかでしょう。

単調性

$$ A, B \in \mathfrak{F}, A \supset B \Rightarrow m(A) \geq m(B) \newline \text{特に}m(B) < \infty \Rightarrow m(A-B) = m(A) - m(B) $$

$A \supset B$であるから、$A = B \cup (A - B)$で、かつ$A \cap (A-B) = \emptyset$。従って有限加法性が適用できて、$m(A) = m(B) + m(A-B) \geq m(B) \quad (\because m(A-B) \geq 0)$。

$m(B) < \infty$の場合、$m(A) = m(B) + m(A-B)$の両辺から$m(B)$を引いて$m(A-B) = m(A)-m(B)$を得ます。

有限劣加法性

$$ A _{i}, \cdots, A _{n} \in \mathfrak{F} \Rightarrow m\left( \bigcup _{j=1} ^{n} A _{j} \right) \leq \sum _{j=1} ^{n} m( A _{j}) $$

ポイントは、$A_{i} \; (i=1,2,\cdots,n)$が互いに疎ではない可能性があることでしょう。ここで$B _{1} = A _{1}$、$B _{i} = A _{i} - \bigcup _{j=1} ^{i-1} A _{j}\;(i \geq 2)$なる集合$B _{i}$を構成します。この$B _{i}$を構成するポイントは以下の点です。

集合加法族$\mathfrak{F}$は集合和に対して閉じているので$B _{i} \in \mathfrak{F}$であること
$B _{i}$の定義から、集合列$\lbrace B _{i} \rbrace$の要素は互いに疎であること
$\bigcup _{i=0} ^{n} B _{i} = \bigcup _{i=0} ^{n} A _{i}$が成立すること

この点から、$B _{i}$は有限加法性や単調性を持つことがわかります。これらを前提にすると、有限劣加法性は次のようにして証明できます。

$$ \begin{align} m\left( \bigcup _{j=1} ^{n} A _{j} \right) &= m\left( \bigcup _{j=1} ^{n} B _{j} \right) \newline &= \sum _{j=1} ^{n} m(B _{j}) & (\because \text{有限加法性より}) \newline &= m(A _{1}) + \sum _{j=2} ^{n} m(A _{j} - \bigcup _{k=1} ^{j-1} A _{k}) & \newline &\leq \sum _{j =1} ^{n} m(A _{j}) & (\because \text{単調性より}) \end{align} $$