理系学生日記

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n次元ベクトル空間Vから複素数Cへの線形写像

本を読んでびっくりしてしまいましたが

n次元ベクトル空間\mathbf{V}から複素数\mathbf{C}への線型写像\psiは、ただ 1 つの\mathbf{y_0}\in\mathbf{V}によって、\psi(\mathbf{x})=(\mathbf{x},\mathbf{y_0})と表される

らしいのです。
日本語でざっくりと書き下せば、n次元ベクトル空間の任意のベクトルから複素数への任意の線形写像というのは、なんとなんと、当該のベクトルと\mathbf{V}内のあるベクトルとの内積によって必ず書き下せると。

証明

まず、\psiが零写像であれば、\mathbf{y_0}=\mathbf{0}で終わりです。ですから、\psiが零写像でない場合を考えましょう。

あるベクトル\mathbf{x_0}\in \mathbf{V}があって、\psi(\mathbf{x_0})=\alpha_0となるとき、任意の\alpha\in \mathbf{C}に対して\psi\left(\frac{\alpha}{\alpha_0}\mathbf{x_0}\right)=\frac{\alpha}{\alpha_0}\psi(\mathbf{x_0})=\alphaとなるので、\mathrm{Im}\psi=\mathbf{C}であることが言えます。
ここで、\mathrm{dim}\;\mathrm{Ker}\psi+\mathrm{dim}\;\mathrm{Im}\psi=nの関係から、\mathrm{dim}\;\mathrm{Ker}\psi=n-1となります。


前回の内容より、ベクトル空間\mathbf{V}は、その部分集合Sと直交補空間S^{\bot}に直交分解できるので、それを応用すれば、\mathbf{V}=\mathrm{Ker}\psi\bigoplus\left(\mathrm{Ker}\psi\right)^{\bot}と直交分解でき、\forall \mathbf{x}\in\mathbf{V}\mathbf{x}=\tilde{x}+\tilde{\tilde{\mathbf{x}}}\;(\tilde{x}\in \mathrm{Ker}\psi,\;\tilde{\tilde{\mathbf{x}}}\in \left(\mathrm{Ker}\psi\right)^{\bot})と表せることが分かります。
ここで、\mathrm{dim}\;\mathbf{V}=n, \mathrm{dim}\;\mathrm{Ker} \psi=n-1より、\mathrm{dim}\;\left(\mathrm{Ker}\psi\right)^{\bot}=1ですから、\forall z\in\left(\mathrm{Ker}\psi\right)^{\bot}複素数\beta\in\mathbf{C}\mathbf{C}の単位ベクトル\mathbf{e}\in\left(\mathrm{Ker}\psi\right)^{\bot}によって、\mathbf{z}=\beta\mathbf{e}と表されます。これを使うと、\mathbf{x}=\tilde{x}+\beta\mathbf{e}
このとき、(\mathbf{x},\mathbf{e})=(\tilde{\mathbf{x}}+\beta\mathbf{e},\mathbf{e})=(\tilde{\mathbf{x}},\mathbf{e})+\beta(\mathbf{e},\mathbf{e})=\beta||\mathbf{e}||^2 (なぜなら、\mathbf{e}\tilde{\mathbf{x}}は直交しているから)。
一方で、\mathrm{Ker}\psiの定義を使用すると、\psi(\mathbf{x})=\psi(\tilde{\mathbf{x}})+\beta\psi(\mathbf{e})=\beta\psi(\mathbf{e})
ここで、\mathbf{y_0}=\frac{\bar{\psi(\mathbf{e})}}{||\mathbf{e}||^2}\mathbf{e}とおくと、
(\mathbf{x},\mathbf{y_0})=\left(\mathbf{x},\;\frac{\bar{\psi(\mathbf{e})}}{||\mathbf{e}||^2}\mathbf{e}\right)=\frac{\psi(\mathbf{e})}{||\mathbf{e}||^2}(\mathbf{x},\mathbf{e})=\frac{\psi(\mathbf{e})}{||\mathbf{e}||^2}\beta||\mathbf{e}||^2=\beta\psi(\mathbf{e})=\psi(\mathbf{x})