ガウスの定理のつぎは当然ストークスの定理です。
循環
を任意のベクトル場とするとき、ある閉曲線を考えます。この閉曲線に沿う
の成分を、曲線を巡って積分するとき、この積分をベクトル場の循環といいます。
小正方形の
の循環
ある正方形の循環を求めます。この正方形の頂点座標は、それぞれとします。
最初の辺 AB のの循環は単純で、
ですね。同様に、辺 BC については
、辺 CD は
、辺 DA は
です。
したがって、この循環はとあらわせます。
ここで、、
となるから、結果として、
となる。この括弧内の値は
の
成分、つまりは正方形の法線成分であるから、この式は
とあらわせます。
1 つのループの循環は、その部分ループの循環を足し合わせたものに等しいです。
このため、任意のループのまわりの循環は、上で考えた無限小の正方形の循環を
内の分だけ足し合わせれば良いので、
を
を縁とする面とすれば、
となり、ストークスの定理が導かれます。