理系学生日記

おまえはいつまで学生気分なのか

質量の導出

physics book

ファインマン物理学、引き続き地道に読んでて、いま第 15 章の「特殊相対性理論」読み終わった。
ISBN:4-00-007711-2:detail
やっぱり、特殊相対性理論は何度みてもきれい。物理学、数学と違って観測をベースにするから、本質的に近似という概念から逃れられない宿命だけど、よくもまぁこんなの直感から反する式とか生み出せたなって思う。特にすべての物理法則はローレンツ変換に対して不変になるべき！！という頭の発想スゴいとおもう。そこに行き着く過程がヤバいと思う。

というわけで、物体のエネルギーはつねにmc^2に等しいと仮定して、質量の導出やります。静止質量がm_0、光の速さがcのとき、速さvで運動する物体の質量は
m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
ってヤツですね。


まずスタート地点は、エネルギーEの変化の割合の関係です。
\frac{dE}{dt}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}
ここで運動方程式\mathbf{F}=\frac{d(mv)}{dt}と、E=mc^2を代入すると
\frac{d(mc^2)}{dt}=\mathbf{v}\cdot\frac{d(m\mathbf{v})}{dt}
両辺を積分すると
c^2\frac{d(m^2)}{dt}=\frac{d(m^2v^2)}{dt}
となって、この式は積分定数をCとすると
m^2c^2=m^2v^2+C

さらに、この式は任意の v で成立するから、v=0 を仮定すると
C=m_0^2c^2。

よって、
m^2c^2=m^2v^2+m_0^2c^2
となって、これを m について解けば
m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}