コロナ禍において、実効再生産数 $R$ をよく聞くけど、この算出方法がわからなかった。数理モデル上は基本再生産数 $R_0$ という言葉も聞くけど、実効再生産数とどう違うかもわからない。

調べみた結果をまとめてみる。ぼくはこの分野ぜんぜん詳しくないので間違ってる可能性があります。

伝染病のモデル

まず前提として、伝染病の伝染状況を表す数理モデルは、その伝染の状態遷移に応じて複数存在している。

例えばここでは、情報の伝搬をSIモデルで解いた。SIモデルは、感染する可能性の高い人 $S(t)$ が感染者 $I(t)$ になっていく状態を表す単純なモデルだった。このモデルに免疫の取得によって感染不能な状態になることは含まれていない。

免疫の獲得によって2度と感染しないことをモデルの中に組み込んだのがwikipedia:SIRモデル、感染した人はしばらく経って回復するけどまた再感染するモデルはSISモデルという。感染はしているけれど症状が出ていない人を含めてモデル化したwikipedia:SEIRモデルもある。

SIRモデルにおける基本再生産数

ネット上で一番情報の多いSIRモデルを用いて読み解いていく。

SIRモデルにおける、SIRそれぞれの意味は以下のように定義される。

冒頭に記載したように、SIRモデルは一度免疫を保持すると、以降に感染することはない。数理モデルとしての考え方は以下のようになる。 $\beta$ は感染確率で、単位は $\text{人}^{-1}s^{-1}$ 。 $\gamma$ は感染者が免疫を獲得する速度係数。

- 感受性保持者 $S(t)$ と感染者 $I(t)$ が接触することにより、 $\beta$ の確率で感染が発生。感受性保持者 $S(t)$ が減っていく
- 感受性保持者 $S(t)$ と感染者 $I(t)$ が接触することにより、 $\beta$ の確率で感染が発生し、感染者 $I(t)$ は増える。一方で、感染者 $I(t)$ は、免疫を獲得する人の分だけ減っていく
- 免疫保持者 $R(t)$ は $I(t)\gamma$ の分だけ増える
- 周囲の人口は $N$ で一定